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Circulation d'eau - Part. 2 : Dimensionnement

Partie 2 : Dimensionnement de la canalisation


La première partie de cet article a permis d'acquérir la mallette du bon petit physicien. Super ! Mais l'aquariophile doit répondre à des questions bien plus concrètes. Le diamètre choisi sera-t-il suffisant ? Les coudes et vannes réduiront-ils dangereusement le débit ? Le tuyau sera-t-il plein et quelle marge restera-t-il ? Existe-t-il des risques d'engorgements ? Cette seconde partie répond à toutes ces questions avec, en prime, des calculateurs bien utiles !

1 : Données de calculs - 2 : Dimensionnement - 3 : Réalisation

 

Partie 2 : Dimensionnement de la canalisation

 

Le dimensionnement est le processus de calcul permettant, à partir des données imposées et choisies, de déterminer les caractéristiques de l'écoulement, de manière à valider ces données ou de les reconsidérer. Il s'agit de répondre à des questions précises et concrètes :

  • Quel diamètre dois-je adopter pour évacuer le débit prévu, compte tenu du circuit envisagé (matériau, diamètre, longueur, hauteur et accessoires) ?
  • Quel sera alors le taux de remplissage du conduit ; sera-t-il plein ou aéré au débit maximum ?
  • Serais-je confronté à des phénomènes perturbants ?

Il nous faut maintenant endosser la tenue du petit hydraulicien pour avancer dans le processus de dimensionnement rappelé ici (fig. 1).

Figure 1 : Processus général de dimensionnement d'une canalisation
Ce processus représente le cas général de dimensionnement d'une canalisation. Complexe pour les circuits d'évacuation gravitaire, partiellement pleins, il est plus simple pour des circuits d'alimentation sous pression.

 

2.1. Taux de remplissage et diamètre hydraulique d'une canalisation

Un écoulement à surface libre qui occupe partiellement la canalisation se définit par son taux de remplissage. Le diamètre intérieur du conduit n'étant plus la référence, c'est le taux de remplissage qui définit la section réelle de l'écoulement et qui permet de procéder aux calculs. De plus, des évènements plus ou moins prévisibles, peuvent générer un engorgement de la canalisation d'évacuation. La sécurité impose donc de calculer la section d'une canalisation qui soit en mesure d'absorber une augmentation momentanée du débit tout en conservant, autant que possible, le régime d'écoulement. Le taux de remplissage permet alors d'évaluer la criticité de ces évènements.

2.1.1 Taux de remplissage

En hydraulique, le taux de remplissage Tr d'un conduit ne s'exprime pas, comme on pourrait l'imaginer, en fonction de la proportion de la section immergée. Les hydrauliciens définissent ce taux comme le rapport de la hauteur de remplissage h au diamètre intérieur Di du conduit. La figure 2 représente cette hauteur dans une canalisation circulaire.

Tr : Taux de remplissage par le liquide [%]
h: Hauteur du liquide [m]
Di : Diamètre intérieur [m]
Formule 1

 

Dans la pratique, les circuits des évacuations naturelles gravitaires sont calculés de telle sorte que le taux de remplissage soit, selon leur fonction, de 50 % à 85 % maximum, de manière à assurer le transport des particules, tout en se réservant une marge pour éviter les engorgements et le siphonage dans les conduites inclinées. Certains aquariophiles choisissent délibérément de noyer la canalisation de descente gravitaire, le taux de remplissage est alors de 100 %.

Taux de remplissage... théorique !

Mais, direz-vous, comment calculer le taux de remplissage Tr quand on ne connait pas la hauteur h ? Bonne question, car c'est bien la situation la plus fréquente quand il n'est pas imposé. Dans ce cas, on débute un premier calcul avec un taux théorique et puis on vérifie que le débit obtenu est celui souhaité. Dans la négative, on recommence avec une valeur plus approchante et ainsi de suite. C'est l'itération C de la figure 1.

Rayon et rayon

Prudence ! Il ne faut jamais assimiler le rayon hydraulique Rh au rayon géométrique Ri. Rh est toujours différent de Ri, même si la canalisation est pleine. En effet :

- Le rayon d'une canalisation circulaire vaut bien la moitié de son diamètre (Ri = Di/2), mais son rayon hydraulique vaut le quart du diamètre hydraulique (Rh = Dh/4).
- Dans un conduit en charge, la hauteur h est égale au diamètre du conduit Di. Dans ce cas, Dh = Di mais Rh  = Ri /2.

2.1.2. Diamètre hydraulique, rayon hydraulique

Le débit d'un liquide dans une canalisation pleine dépend de sa section (ou du diamètre) et de la vitesse moyenne du fluide, laquelle est en relation avec la surface de frottement, autrement dit son périmètre mouillé Pm. Mais, comment calculer un débit avec les dimensions de cette même canalisation quand elle est incomplètement remplie ? Les hydrauliciens raisonnent à partir d'une section circulaire théorique, quelle que soit d'ailleurs la forme géométrique du conduit, qui engendrerait la même perte de pression linéique pour une même vitesse. Le diamètre de ce cercle est appelé diamètre hydraulique Dh. Par définition, le rayon hydraulique Rh. est le rapport entre la surface mouillée Sm et le périmètre mouillé Pm. Le taux de remplissage est pris en compte avec l'angle θ (thêta), exprimé en radian, formé par la hauteur h. La figure 2 précise toutes les formules nécessaires. Les calculs hydrauliques des écoulements à surface libre utilisent le rayon hydraulique et non le rayon géométrique du conduit.


Figure 2 : Expression du rayon hydraulique et du diamètre hydraulique à partir de la hauteur h représentant le taux de remplissage.

 

Le rayon hydraulique représente en quelque sorte, l'ampleur des frottements superficiels : plus le rayon hydraulique augmente, plus la section s'écoulant augmente par rapport à la surface frottante des parois. De ce fait, la perte de charge est d'autant plus faible que le rayon hydraulique est grand. On peut alors comprendre cette notion parfois difficile à assimiler :

  • Dans l'écoulement libre d'un conduit circulaire, à débit constant la vitesse augmente avec le diamètre.
  • Dans l'écoulement en charge d'un conduit circulaire, à débit constant la vitesse diminue avec le diamètre.

2.2. Vitesse d'écoulement

Nous avons vu que les vitesses se répartissent irrégulièrement dans la section du conduit. Elles sont faibles au plus près de la surface de la canalisation et même nulles au contact, du fait des frottements dus aux aspérités superficielles. Dans cette zone, la couche limite (fig. 3 et 4), les vitesses atteignent des valeurs propices aux sédimentations. C'est pour cette raison qu'en hydraulique urbaine, on préconise des vitesses supérieures à 0,7 m/s.

Dans la pratique, pour procéder aux calculs, on considère la vitesse moyenne V (formule 2).

V = Qv / S V : Vitesse moyenne dans la section [m.s-1]
Qv : Débit volumique [m3.s-1]
S : Surface de la section [m2]
Formule 2

 

En aquariophilie

La vitesse minimum limite de sédimentation est normalement dépassée dans les circuits d'un aquarium en PVC rigide dont la rugosité est très faible, à condition que le diamètre ne soit pas trop important dans des zones à faible déclivité. Mais les vitesses sont propices au développement de nombreux organismes, des bactéries aux vers filtreurs, qui s'y développent, augmentant ainsi la perte de charge. L'aquariophile ne peut échapper à la corvée du nettoyage annuel des canalisations.

 

Vitesse... théorique !

De même que pour le taux de remplissage d'un écoulement à surface libre, comment calculer la vitesse V si la section mouillée est inconnue ? Dans cette situation, on utilise le taux de remplissage théorique ci-dessus pour calculer une vitesse théorique qui donne un certain débit. Puis on recommence le calcul avec un autre taux, donc une autre vitesse, jusqu'à ce que le débit calculé soit identique au débit souhaité. C'est toujours l'itération C de la figure 1.

2.3. Régimes d'écoulements : laminaire, turbulent, permanent, transitoire

2.3.1. Régime d'écoulement permanent

Un régime d'écoulement est dit permanent (ou stationnaire) si ses caractéristiques physiques (pression, température, vitesse, masse volumique...) sont indépendantes du temps. La vitesse locale est indépendante du temps, elle peut être variable entre deux zones du fait de la géométrie. Les calculs d'un système d'écoulement sont effectués en supposant le régime permanent. Il doit donc être conçu pour tendre vers cet état, ce qui n'est pas toujours facile comme on va le voir.

Un régime d'écoulement permanent, peut se structurer sous deux états : laminaire ou turbulent.

Figure 3 : Profil de vitesses en régime laminaire.
  • Laminaire (fig 3) : Un écoulement est dit laminaire lorsque la vitesse des particules est faible et que les lignes de courant sont régulières, parallèles aux parois du contenant. ​Le profil de vitesse se répartit de manière hyperbolique dans la section du conduit. Dans cette configuration, les forces visqueuses de cisaillement sont supérieures aux forces de frottement. Les calculs de conservation de l'énergie peuvent être traités par le théorème de Bernouilli adapté à l'étude de tels écoulements.


  • Figure 4: Profil de vitesses en régime turbulent.
  • Turbulent (fig. 4) : un écoulement est turbulent lorsque les directions des particules se déplacent en tourbillons, dont la taille, la localisation et l'orientation varient constamment, de manière désordonnée. Ils apparaissent lorsque la vitesse est importante par rapport aux forces de viscosité. Les écoulements turbulents restent difficilement prévisibles du fait de leurs variations de lieu et de temps et beaucoup plus difficiles à traiter par le calcul, mais la dissipation des énergies génère finalement un profil des vitesses plutôt régulier. Dans cette configuration, la vitesse décroit de manière brutale au plus près des parois.
En aquariophilie

Les écoulements d'un aquarium sont rarement laminaires. On les obtient en amont du déversoir et parfois dans des grosses canalisations rectilignes, à faible déclivité et partiellement remplies.
Dans le circuit de remontée d'eau vers l'aquarium, dont les diamètres sont étroits, et dans les circuits d'évacuation souvent fortement inclinés, où les vitesses sont importantes, le régime d'écoulement est exclusivement turbulent.

 

2.3.2. Régime d'écoulement transitoire

Un régime d'écoulement est dit transitoire quand il n'a pas encore atteint un état stable, permanent. Un régime transitoire peut apparaître lors d'une modification d'un système, quand l'eau passe par des stades de pressions et de dépressions engendrant des phénomènes d'instabilités. Si les écoulements permanents sont pris en compte dans des formules établies, il en est autrement pour les régimes transitoires. La part d'incertitude est prise en compte, le cas échéant, par des coefficients de sécurité.

En aquariophilie

Des transitions d'écoulement, plus ou moins temporaires, peuvent être dues à l'obturation partielle d'une conduite, à l'évolution de tensions interfaciales, aux fluctuations occasionnées par le brassage... Le circuit de descente d'un aquarium est constitué de coudes, de tronçons courbes et rectilignes plus ou moins inclinés, parfois verticaux, de l'air se mêlant à l'eau, tout cela génére des phases transitoires. Le système d'écoulement de l'aquarium doit être conçu pour éviter ces situations ou au moins limiter leurs impacts.
Les logiciels de simulation ne savent pas considérer les phénomènes transitoires, on imagine donc la difficulté à prévoir les débits dans une descente gravitaire d'aquarium.

 

2.3.3. Modèles d'écoulements

La figure 5 présente différents régimes d'écoulement : un écoulement à surface libre à régime permanent laminaire (a) des écoulements en charge dans différents régimes transitoires (b à h) et un écoulement en régime permanent, turbulent (i).

Figure 5 : Régimes de transition d'un écoulement à surface libre à un écoulement en charge
a : Régime permanent. Écoulement laminaire à surface libre. Les phases gazeuse et liquide sont stratifiées.
b : Régime transitoire. L'interface entre phases liquide et gazeuse est ondulé.
c : Régime transitoire. La phase gazeuse se sépare en bouchons indépendants, sur la section.
d : Régime transitoire. Des poches se dispersent dans la partie supérieure du tuyau.
e : Régime transitoire. Des bulles sont dispersées de manière uniforme.
f : Régime transitoire. Une cheminée de gaz pousse le liquide de manière annulaire sur la surface du tuyau.
g : Régime transitoire. Un spray, de fines gouttes gazeuses se disperse dans la phase liquide.
h : Régime transitoire. De grosses bulles forment une mousse dans le conduit.
i :Régime permanent. Cas d'un écoulement turbulent, en charge. Le conduit est rempli de liquide progressant en tourbillonnant

 

2.3.4. Identifier le régime d'écoulement : Reynolds

Pour une section de canalisation, lorsque la vitesse d'un fluide d'une certaine viscosité augmente, son régime passe successivement d'un stade laminaire, puis atteint un seuil critique de transition pour se stabiliser dans un régime turbulent. Les calculs étant différents selon les régimes d'écoulement, il est impératif d'en connaitre la nature dans la configuration présente. Osborne Reynolds a défini une formule mettant en jeu ces paramètres, qui représente le rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses. La formule 3 est celle admise pour les conduits cylindriques.

Re : Nombre de Reynolds [-]
V : Vitesse moyenne dans la section [m.s-1]
Dh : Diamètre hydraulique du conduit [m]
ν = Viscosité cinématique [m2.s-1]
Formule 3

 

Le nombre de Reynolds définit le régime d'écoulement pour des conduites en charge ; ces limites restent cependant approximatives :

  • Re ≤ 2000 : régime laminaire (valeur admise pour les parois lisses) ;
  • 2000 < Re < 3000 : régime transitoire ;
  • Re ≥ 3000 : Régime turbulent.

2.4. Pertes de charges

Nous avons vu qu'il existe des freins au bon écoulement de l'eau, à l'origine de chutes de pression autrement appelées pertes de charge. Ces dernières dépendent :

  • Des frictions intermoléculaires en relation avec la viscosité du fluide ;
  • des frottements superficiels contre les parois de la canalisation ;
  • des obstacles qui créent des variations géométriques.

Dans la pratique, on a l'habitude de traiter dans le cadre de pertes de charges régulières (ou linéaires), les frictions visqueuses et les frottements liés à la longueur de la canalisation, et pertes de charge singulières celles qui apparaissent en présence d'obstacles de formes particulières (ou singularités).

2.4.1. Pertes de charges régulières (linéaires)

Frictions, frottements... ces termes sont souvent employés l'un pour l'autre. Mais en milieu liquide, ne tentons pas trop de les différencier puisqu'il s'agit finalement du même phénomène : le cisaillement moléculaire ; seule la cause diffère. Si les frictions intramoléculaires font intervenir la viscosité du fluide, les frottements superficiels sont liés à la rugosité des surfaces.

Coefficient de perte de charge régulière

La saga lambda

Antoine Chezy , Robert Manning, John Thomas Fanning, Darcy, Julius Ludwig Weisbach, Ludwig Prandtl, Gaspard Prony, Heinrich Blasius, Prandlt, Moody, Nikuradsé, Serghides, Eck, Colebrook, Altschoul, C. Citrini, S.E. Haaland, Swamee–Jain, Hazen Williams, Churchill... Français, Irlandais, Anglais, Allemands, Suisses... Depuis 1775 jusqu'à nos jours, ces mathématiciens hydrauliciens ont écrit l'histoire du coefficient de rugosité λ. Des cours d'eau naturels aux canalisations urbaines jusqu'au circuits domestiques, ils ont cherché la meilleure expression, équation ou représentation graphique de ce rugueux inconnu.
Des formules plus ou moins sophistiquées, limitées, théoriques ou expérimentales, l'expression de C. M. Colebrook et C. F. White de 1937 est la plus utilisée. Nous lui préférons celle de l'états-unien Stuart W. Churchill datant de 1977, plus facilement exploitable et couvrant de manière précise tout le champ des écoulements, des laminaires aux turbulents.

Nous connaissons la viscosité du fluide et la rugosité du matériau, nous disposons donc de tous les éléments pour savoir comment elles vont s'opposer à l'écoulement. Cette opposition est est représentée par le coefficient λ (lambda) de perte de charge linéaire.

Figure 6 : Diagramme de Moody exprimant le coefficient lambda selon les régimes d'écoulement.

Les nombreuses formules de calcul mettent en jeu l'effet de la viscosité (au travers du nombre de Reynolds Re) et celui de la rugosité (au travers de l'indice de rugosité absolue ε) et ce, plus ou moins selon le régime d'écoulement. Sans rentrer dans les détails, les formules (ou une partie d'elles-mêmes) sont adaptées selon le régime d'écoulement : laminaire (Poiseuille) avec Re ≤ 2000 (rare en aquariophilie), transitoire, ou bien turbulent lisse ou rugueux (Colebrook-White) avec Re > 2000 (très fréquent dans les circuits d'alimentation et d'évacuation de nos aquariums. Face à la difficulté des calculs, une représentation graphique de ces équations, le diagramme de Moody (fig. 6), permet d'approximer le coefficient λ.

Parmi toutes ces formules, la récente formule de Stuart W. Churchill proposée ci-dessous, présente le grand avantage d'être explicite (contrairement à l'expression de Colebrook-White très répandue). Elle et ne se résout pas par itérations (succession de calculs en boucles où le résultat du précédent sert pour le suivant) (itération B de la figure 1) et de plus, elle est exploitable quel que soit le régime d'écoulement, du laminaire au plus turbulent.

λ : Coefficient de perte de charge régulière [-]
Re : Nombre de Reynolds [-]
ε/Dh : Indice de rugosité relative [-]
Formule4 : Formule de Stuart W. Churchill de calcul du coefficient de pertes de charges régulières pour tous types d'écoulements.

 

Pas besoin de sortir la calculette, plus besoin d'utiliser le diagramme de Moody, inutile de concocter une itération sur tableur, le calculateur de Cap récifal Calcul du circuit d'évacuation pour aquarium se charge du job avec une précision suffisante.

Perte de charge régulière, totale

La perte de charge régulière s'exprime suivant le besoin, en fonction d'une variation de hauteur ΔHR en mètre de colonne d'eau mCE ou de pression Δps en Pascal. Dans cet article, l'unité choisie est le mCE (1 mCE = 9807 Pa).


ΔHR : Perte de charge régulière [mCE]
λ : Coef. de perte de charge régulière [-]
L : Longueur de la conduite [m]
Dh : diamètre hydraulique (ou intérieur) du conduit [m]
V : Vitesse moyenne dans la section [m.s-1]
g : Accélération de la pesanteur = 9.81 [m.s-2]
Formule 5

 

Conduites en série : Lorsque la conduite est composée de plusieurs tronçons de diamètres différents en série, la perte de charge est la somme des pertes de charge de chaque tronçon.

Conduites en parallèle : Lorsque le réseau est formé de plusieurs conduites en parallèle, la perte de charge est la même pour toutes les conduites et le débit global est égal à la somme des débits.

2.4.2. Pertes de charges singulières

Figure 7 : Toute singularité (obstacle) génère des zones de perturbation à l'origine de pertes d'énergie (ou de charge).

Les pertes de charge singulières (ou locales) se produisent en présence d'obstacles, lorsque au moins une partie des lignes de courant s’écartent de la direction principale de l’écoulement. Il y a alors décollement de la paroi ou formation de zones de recirculation, par exemple au niveau des changement de direction (coudes, raccords en Y ou en T, grilles...), ou de sections (jonctions, clapets, vannes, à l'entrée ou en sortie de conduite...). Ces accessoires produisent une chute d'énergie rapide ; vitesse et pression diminuent sur une distance plus ou moins importante. Cette chute d'énergie impacte bien évidemment partiellement les pertes de charges régulières de même que celles d'un accessoire placé immédiatement en aval ; cet aspect est cependant négligé par simplification.

Coefficients de pertes de charges singulières

Chaque accessoire est affecté d'un coefficient de perte de charge singulière ξ (xi), établi par le calcul et l'expérimentation ; sa valeur peut varier selon le constructeur. Le coefficient ξ est destiné à soustraire une partie de l'énergie cinétique, il est donc toujours compris entre 0 et 1.

La perte de charge singulière est le produit du coefficient de perte de charge ξ de l'obstacle par la représentation de l'énergie cinétique. On l'exprime suivant le besoin, en fonction d'une variation de hauteur Δhs en mètre de colonne d'eau [mCE] ou de pression Δps en Pascal.

Δhs : Perte de charge singulière (mCE)
ξ (xi) : Coef. de perte de charge singulière de l'accessoire [-]
V : Vitesse moyenne dans la section [m.s-1]
g : Accélération de la pesanteur = 9.81 (m.s-2)
Formule 6

 

Noter que la perte de charge singulière d'un accessoire est parfois déterminée par le constructeur en fonction d'une longueur virtuelle de conduit.

En aquariophilie

Mais, direz-vous, les coefficients ξ ont été étudiés pour les canalisations en charge, comme la remontée d'eau par une pompe. Qu'en est-il des écoulements à surface libre, jalonnés d'obstacles, comme une évacuation vers la cuve technique ? Et vous n'aurez pas tort. En écoulement à surface libre, l'obstacle se comporte comme s'il était en charge jusqu'à un certain seuil (nombre de Froude inférieur à 0,7 (Hager 1999)). L'assimilation est erronée au delà, comme dans les descentes à fortes déclivités. Dans ce cas d'autres phénomènes apparaissent plus rédhibitoires, qui guideront nos décisions comme on le verra.

 

Perte totale de charges singulières

La perte de charges singulière totale du circuit équipé des accessoires 1, 2,3... est la somme des pertes de charges individuelles de tous les accessoires.

ΣΔHS = ΔHS1 + ΔHS2 + ΔHS3 +... ΣΔHS : Perte de charges singulières totale [mCE]
ΔHS 1 : Perte de charge singulière de l'accessoire 1 [mCE]
Formule 7

 

En aquariophilie

Les conduits en PVC utilisés en aquariophilie, plutôt lisses, induisent peu de perte de charge. Cependant, dans nos circuits d'alimentation en charge, elle peut s'élever rapidement avec des débits importants. Un bon compromis diamètre/débit est obtenu avec une perte de charge régulière de 50 à 100 mmCE par mètre de longueur.

 

2.4.3. Perte totale de charges

Dans un circuit en ligne, la perte totale de charges ΔHT du circuit est, on s'en doute, la somme des pertes de charges régulière et singulières. Selon le besoin les pressions sont exprimées, en hauteur d'eau [mCE] ou en pascal [Pa].

ΔHT = ΔHR + ΣΔHS

ΔpT = ΔpR + ΣΔpS
ΔHT : Perte totale de charges [mCE]
ΔHR : perte totale de charges régulières [mCE]
ΣΔHS : perte totale de charges singulières [mCE]
Δp : perte totale de charges [Pa]
ΔpR : perte totale de charge régulière [Pa]
ΣΔpS : perte totale de charge singulière [Pa]
Formule 8

 

Dans la pratique, la perte totale de charges est majorée de 10 % pour compenser les approximations liées à la détermination des coefficients de pertes de charges singulières ξ.

2.5. Bilan énergétique

2.5.1. Travail et énergies

Travail

Nous avons abordé les différentes forces pouvant entrer en jeu dans un écoulement. Un écoulement ! nous sommes donc dans le mouvement. Une force qui se déplace effectue un travail. La distance considérée est celle du trajet parcouru par le point d'application de la force. Le travail (work en anglais) s'écrit W. Dans le système SI, il s'exprime en joule dont le symbole est J, parfois en kilowatt-heure (kW.h). 1 J = 1 N.m = 1 kg.m2.s-2 = 2,78.10-7 kW.h. Le tarvail se formule ainsi :

W = FT / d W : Travail [J]
FT : force tangente à la trajectoire [N]
d : Distance parcourue [m]
Formule 9
Énergie

L'énergie E (on parle d'énergie mécanique) s'exprime en joule, avec la même unité que le travail. C'est normal, il faut considérer qu'avant son déplacement l'objet (un élément de liquide) dispose d'une certaine quantité d'énergie. Son déplacement produit un travail, c'est à dire une dépense (une transformation) d'énergie. A son arrivée, il dispose d'une énergie résiduelle, disponible pour un autre travail.
L'énergie est la capacité à réaliser un travail ; le travail génère une dépense de l'énergie initialement disponible. Le travail fourni représente alors la différence d'énergie ∆E avant et après sa réalisation, tout cela en joule :

∆E = W = Ei + Ef ∆E : Perte d'énergie (J)
W : Travail (J)
Ei : Énergie initiale (J)
Ef : Énergie finale (J)
Formule 10

 

2.5.2. Sources d'énergies

L'hydraulicien identifie plusieurs types d'énergies susceptibles d'être échangées :

  • Énergie potentielle de gravité (ou de pesanteur) Ez : c'est l'énergie qui est potentiellement libérable, immédiatement disponible du fait de sa position dans le champ gravitationnel. Par exemple, l'eau d'un aquarium retenue en amont du déversoir, chute dès qu'elle passe le seuil du déversoir. L'énergie disponible dépend ici, de l'altitude de l'eau. Notons que, puisque l'énergie de pesanteur dépend de la hauteur, elle diminue au fur et à mesure de la chute.
  • Énergie de pression Ep : c'est l'énergie qui dépend de la pression exercée sur le fluide.
  • Énergie cinétique Ec : c'est l'énergie qui dépend du mouvement, celle que l'objet acquiert de par sa vitesse. L'eau qui tombe prend de la vitesse, son énergie cinétique augmente au fur et à mesure que sa hauteur diminue... dans le même temps, son énergie potentielle diminue. On assiste à la transformation d'une forme d'énergie potentielle en une autre, cinétique.

En présence de fluides parfaits, sans viscosité et en l'absence d'obstacle, il peut y avoir des transferts d'énergie d'une forme vers l'autre, mais la somme de ces énergies reste constante. C'est l'équation de Bernouilli dont la formule 11 est une expression parmi d'autres :

z : Altitude du point [m]
p : Pression en un point [Pa]
ρ : Masse volumique [kg.m-3]
g : accélération de la pesanteur = 9.81 (m.s-2)
V : Vitesse moyenne dans la section [m.s-1]
Cte : Valeur constante
Formule 11 : Théorème de Bernouilli

 

2.5.3. Bilan énergétique : l'équation généralisée

Le monde des fluides parfaits n'est pas le nôtre. L'écoulement est perturbé par les pertes de charges (glissements, frictions, frottements, chocs). D'autre part, la canalisation dispose parfois de moyen d'élévation de la charge (pompes). Tout ceci s'équilibre dans ce que l'on nomme l'équation de Bernouilli généralisée dont la formule 12 en présente une expression utilisée en hydraulique, en énergie par unité de pression, dont les grandeurs sont homogènes à des longueurs [m].

z1, z2: Altitude du point 1 ou 2 [m]
p1, p2: Pression au point 1 ou 2 [Pa]
ρ : Masse volumique [kg.m-3]
g : Accélération de la pesanteur = 9.81 [m.s-2]
V1, V2: : Vitesse moy. dans la section 1 ou 2 [m.s-1]
Hm : Hauteur manométrique [mCE]
ΔHT : Perte de charge totale [mCE]
ΔHR : Perte de charge régulière [mCE]
ΣΔHS : Perte de charge singulière totale [mCE]
Formule 12 : Théorème généralisé de Bernouilli

 

Le bilan des énergies (charges énergétiques + pertes de charges énergétiques) reste constant dans toute la canalisation. Les charges énergétiques se transforment les unes sous la forme d'autres et se dissipent partiellement (pertes thermiques…). La figure 8 montre comment peut évoluer la répartition des sources d'énergie et la perte de charge totale dans un circuit d'évacuation gravitaire d'aquarium. On constate que la source d'énergie de pesanteur, majeure en haut du circuit, se transforme essentiellement en énergie cinétique au fur et à mesure de la descente.

Figure 8 : Échanges énergétiques dans le circuit d'évacuation gravitaire d'un aquarium

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Évolution possible des différentes énergies dans l'évacuation gravitaire. Le bilan des énergies reste constant. L'énergie potentielle de gravité diminue, transformée essentiellement sous forme d'énergie cinétique et partiellement dissipée provoquant une perte de charge.

 

2.5.4. Bilans énergétiques appliqués à l'aquariophilie

L'aquariophile est confronté à quelques situations dont voici les plus fréquentes.

Cas 1 : Calcul du débit gravitaire d'une canalisation de diamètre imposé, rejetant à l'air libre

Il s'agit de calculer le débit volumique Qv pouvant descendre par gravité dans une canalisation de section circulaire, de diamètre intérieur Di donné. Le rejet se fait bouche bée, au-dessus de la surface de l'eau de la cuve technique. Ce calcul est le même quel que soit le taux de remplissage de la canalisation. Pour un taux de remplissage Tr = 100%, alors Dh = Di.

Figure 9 : Évacuation gravitaire avec rejet à l'air libre ; processus de calcul du débit en fonction du diamètre.

 

On le constate, ce processus de calcul nécessite des itérations imbriquées qui rendent les opérations fastidieuses. Le calculateur Cap récifal permet de répondre simplement à la question.

 

Cas 2 : Calcul du diamètre pour un débit imposé, d'une évacuation gravitaire rejetant à l'air libre

C'est un titre qui accroche ! Malheureusement aucune réponse ne peut être donnée à cette question. En effet, comment calculer un écoulement dans une conduite dont on ignore la section ? Par contre on peut calculer le taux de remplissage Tr d'un conduit de diamètre Di choisi, et vérifier s'il permet le débit volumique Qv souhaité. Le titre devient donc : Validation du diamètre d'un conduit d'évacuation gravitaire pour un débit imposé. Liberté à l'aquariophile de valider ou non le diamètre, sachant que l'on préconise un taux de 50 à 85 %, et de choisir le diamètre normalisé correspondant.

Figure10 : Évacuation gravitaire avec rejet à l'air libre ; processus de calcul du diamètre en fonction du débit.

 

Le bilan énergétique est identique au cas 1. A la fin du processus de calcul, s'ajoute une phase de validation du taux de remplissage et, si besoin, un recalcul avec un autre diamètre. Le calculateur Cap récifal Calcul d'évacuation d'aquarium "2 - Taux de remplissage pour un débit connu" permet de répondre à cette question.

 

Cas 3 : Calcul du diamètre pour un débit donné, d'une canalisation rejetant dans l'eau

Il s'agit de calculer le débit volumique Qv pouvant descendre par gravité dans une canalisation de section circulaire, de diamètre intérieur Di donné. Le rejet se fait sous la surface de l'eau de la cuve technique. Ce calcul est le même quel que soit le taux de remplissage de la canalisation. Pour un Tr = 100%, Di = Dh.

Figure 11 : Évacuation gravitaire avec rejet dans l'eau ; processus de calcul du débit en fonction du diamètre.

 

Le processus de calcul est le même que celui du cas 1, seul le bilan énergétique diffère avec la formule de calcul du débit.

 

Cas 4 : Calcul de la hauteur manométrique Hm d'une pompe rejetant à l'air libre

Il s'agit de calculer la hauteur manométrique Hm d'une pompe pour relever l'eau avec un débit volumique Qv, d'une hauteur H entre la cuve technique et l'aquarium, dans une canalisation de diamètre intérieur Di , comportant des pertes de charges régulières et singulières.

Figure 12 : Alimentation en eau sous pression avec rejet à l'air libre ; processus de calcul de la hauteur manométrique de la pompe pour un diamètre et un débit imposés.

 

Le processus de calcul est relativement simple. Le calculateur Cap récifal Calcul d'alimentation en eau d'aquarium permet de réaliser des simulations rapides pour choisir la pompe qui pourra débiter le volume Qv souhaité à la hauteur manométrique Hm calculée.

 

2.5.5. Courbe réseau

Figure13 : Courbe réseau.

La courbe du réseau (ou caractéristique du circuit) représente l'énergie à fournir au fluide, compte tenu de toutes ses pertes de charges, pour le faire circuler sur une hauteur Hm avec un débit Qv. Cette énergie est ici exprimée en énergie par unité de pression, en mCE. Elle augmente quand le débit augmente, suivant une courbe (fig.24), donnant Hm en fonction de Qv selon la formule 22.

La dernière formule de la figure 13 donne la relation existant entre Hm et Qv pour la canalisation d'alimentation en charge d'un aquarium.

Ainsi une pompe donnée mise en place sur un circuit donné ne peut fournir qu'un et un seul débit. La courbe du réseau est essentiellement utilisée dans les circuits en charge, pour vérifier la compatibilité d'une pompe avec le circuit, comme on le verra plus loin dans la 3ème parie de cet article au chapitre traitant des pompes.

Hm : Hauteur manométrique [mCE]
H: Différence de niveau =z2- z1 [mCE]
a : Valeur constante
Qv : Débit volumique [m3.s-1]
Formule 13

 

2.6. Validation des résultats : engorgements et autoaération

Les valeurs cherchées étant obtenues (selon le cas : débit, diamètre, taux de remplissage), pour un écoulement il faut vérifier qu'il ne génère pas des phénomènes perturbateurs (chocs et autoaération) qui peuvent imposer de reconsidérer la canalisation.

2.6.1. Phénomène de choc : engorgement et yoyo

Figure 14 : Phénomène de chocs, l'écoulement libre se met en charge localement.

Dans les conduites à surface libre (non complètement remplies) et fortement inclinées, la turbulence de l’écoulement génère une onde à la surface de l’eau qui évolue selon le ratio énergie cinétique (vitesse) / énergie potentielle gravitationnelle (forces de pesanteur). Au-delà d'une certaine perturbation, l'eau vient choquer la paroi du conduit. L'écoulement libre devient momentanément un écoulement en charge ; sa vitesse diminue localement pour former un bouchon (fig. 14).

Le risque d'apparition de ce phénomène peut se quantifier par l'approche du χ (khi). Willi H. Hager, hydraulicien Suisse, a récemment déterminé ce coefficient valable aussi pour les canalisations circulaires à forte pente.


χ : Coefficient de rugosité (Hager) [-]
K : Coefficient de frottement de Strickler
J : Déclivité J = H/ L [-]
Di : Diamètre intérieur [m]
g : Accélération de la pesanteur = 9.81 [m.s-2]
Formule 14

 

Afin d'éviter le phénomène de choc le taux de remplissage doit se limiter à 80 % pour χ = 5 et à 70 % pour χ = 10

En aquariophilie

Dans une installation classique aquariophile ou les déclivités de plus de 45° ne sont pas rares, le phénomène de chocs n'est pas négligeable. Il est à l'origine d'un mouvement alternatif de yoyo que fait la surface de l'eau. Cette dernière remonte bien au-dessus du déversoir sous l'effet du bouchon, puis s'engouffre de nouveau dans le conduit sous l'effet conjoint du siphonage, jusqu'à ce que le bouchon se libère dans la cuve technique, et de la pression de la nappe d'eau de l'aquarium, devenue plus épaisse. On peut favoriser le désamorçage du siphon par une prise d'air dans le circuit.
À l'extrême, lorsque le diamètre est trop petit (la perte de charge est plus importante) pour que le bouchon se désintègre, la conduite se remplit définitivement "en charge", et la nappe d'eau étant devenue plus épaisse, l'évacuation se réalise alors par un siphonage continu de l'eau en aval. C'est ce phénomène que l'on exploite quand on installe une vanne partiellement fermée en aval du conduit d'évacuation.

 

2.6.2. Phénomène d'autoaération : engorgement et glouglou

Figure 15 : Autoaération, la mise en charge s'accentue.

Dans les écoulements très turbulents, lorsque la déclivité est importante, l'onde superficielle déferle. De l'air s'introduit alors dans l'eau et se disperse intimement sous forme de microbulles pour prendre, à l'extrême, une couleur blanchâtre (fig. 15). Si le phénomène d'autoaération est aujourd'hui très maitrisé dans les conduites à surface libre ouverte (barrages, échelles à pertes d'énergie, déversoirs...), ce n'est pas le cas des conduits fermés dont le comportement s'écarte du précédent cas. On doit à Hager, encore lui, quelques propositions issues de ses expérimentations. Les formules ci-dessous conservent quelques parts d'incertitudes, notamment pour les très fortes déclivités.

L'autoération débute pour χ = 8, la déclivité avoisine alors 15°. Le fluide chargé d'un mélange d'eau et d'air est devenu biphasique et voit ses caractéristiques modifiées qui se stabilisent ensuite. La déclivité est le facteur essentiel, la rugosité du matériau n'intervenant pas. Dans le même temps, le volume du mélange biphasique augmente, amplifiant le phénomène de choc ci-dessus. La formule 15 donne la hauteur hb du mélange biphase dans un conduit circulaire. Elle met en jeu le coefficient de Strickler K établi pour les canaux naturels et malheureusement plus rarement déterminé pour les matériaux synthétiques. Pour le PVC rigide, K ≈ 110.

hb : Hauteur du fluide biphasique (m)
h : Hauteur du fluide (m)
K : Coefficient de frottement de Strickler
J : Déclivité du conduit (-)
g : Accélération de la pesanteur = 9.81 (m.s-2)
Formule15

 

Cette hauteur hb permet de calculer le nouveau taux de remplissage du mélange biphase Txb dans le conduit (formule 16).

Trb : Taux de remplisage du fluide biphasique [%]
hb : Hauteur du fluide biphasique [m]
Di : Diamètre intérieur [m]
Formule 16

 

Quand Txb approche de la valeur 100 %, il est nécessaire de reconsidérer les paramètres initiaux de la canalisation : augmenter le diamètre, diminuer le débit ou la pente puis procéder à un nouveau calcul jusqu'à validation de l'engorgement et de l'autoaération (fig. 1).

En aquariophilie

L'autoaération se produit dans la majorité des situations. Par exemple, dans une évacuation gravitaire en PVC de 40 mm conçue pour un taux de remplissage à 70 % d'eau seule, l'autoaération débute avec une inclinaison de 10°. Cette même évacuation inclinée à seulement 33°, le taux de remplissage atteindra 100 %. Comment dire... il est prudent de conserver la serpillère à portée de main ! La section du tuyau ne permet plus d'absorber le mélange air-eau, et le niveau de l'aquarium peut monter. Si toutefois ce stade critique n'est pas atteint et que l'aquariophile n'est pas perturbé pas l'effet yoyo exposé plus haut, sous les deux effets cumulés un gros bruit de glouglou s'installe, qui plombe l'ambiance du logis.

 

2.7. La calculette, c'est bien... le calculateur, c'est mieux

Figure 17 : Calculateur du circuit d'évacuation d'eau.
Figure16 : Calculateur du circuit d'alimentation en eau.

Tout ça pour quoi ? On voit bien l'intérêt de calculer au préalable le circuit d'alimentation et d'évacuation de l'aquarium, surtout dans des installations complexes ou la cuve technique se situe à la cave avec des canalisations longues. On a pu constater aussi que ces calculs sont difficiles avec une simple calculette et les risques d'erreurs nombreux. Pas de panique ! Cap récifal propose deux calculateurs qui appliquent exactement tout ce qui a été décrit ci-dessus :

  • Le calculateur Calcul d'alimentation en eau d'aquarium (fig. 16) est destiné à chiffrer la hauteur manométrique de la pompe en présence des coudes qui ne manquent pas de freiner notablement l'écoulement sous pression.
  • Le calculateur Calcul d'évacuation d'aquarium (fig. 17) permet de résoudre deux types de problèmes : la détermination du débit pour un diamètre et un taux de remplissage connus et la détermination du taux de remplissage pour un débit imposé et un diamètre choisi.

 

Nous en avons terminé avec le dimensionnement de la canalisation. Il est temps de réfléchir aux différents choix qui s'offrent pour sa réalisation.

En savoir plus

 

Denis TOURNASSAT

Article publié par Cap récifal le 10 février 2017 avec l'aimable autorisation de l'auteur.

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